Autor Nicolás Capitelli; Rosa María Escayola; Ximena L. Fernández; Gerardo D. Rossi

• INGENIERÍA, INFORMÁTICA Y MATEMÁTICA

Contenidos

• Parte 1

1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1 Conjuntos 19

1.1.1 ¿Qué es un conjunto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.2 ¿Cómo describir un conjunto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.3 Subconjuntos del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.4 Cómo construir conjuntos a partir de otros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Vectores de Rn 25

1.2.1 La noción de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.2 Vectores en el espacio n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Producto escalar de vectores 32

1.3.1 Producto escalar, norma y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.2 Ángulo entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Rectas 39

2.1.1 ¿Cómo describir una recta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.2 La ecuación vectorial de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.3 Ecuación implícita de una recta en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.4 ¿Cómo hallar la ecuación vectorial a partir de la implícita? ¿y viceversa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Planos 47

2.2.1 La ecuación vectorial del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2 Ecuación implícita de un plano en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.3 ¿Cómo hallar la ecuación vectorial a partir de la implícita, y viceversa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 La ecuación normal de un plano 52

2.3.1 La ecuación normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.2 El producto vectorial de vectores de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.3 Nuevo cálculo de la ecuación implícita a partir de la vectorial, y viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Intersección de subespacios de R3 57

2.4.1 Intersección de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.2 Intersección de un plano y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.3 Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5 Distancias y ángulos entre rectas y planos 65

2.5.1 Ángulos entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.2 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5.3 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5.4 Distancia entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.6 Proyecciones y simetrías 72

2.6.1 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.6.2 Proyección ortogonal de puntos sobre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1 Subespacios de Rn 79

3.2 Combinación lineal 80

3.3 Dependencia lineal 81

3.4 Generadores, base y dimensión 83

3.4.1 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1 Curvas cónicas 89

4.1.1 ¿Qué es un cono? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.2 Corte del cono con distintos planos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 La circunferencia 92

4.2.1 La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 La elipse 94

4.3.1 La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 La ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.3 Excentricidad de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 La hipérbola 101

4.4.1 La hipérbola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.2 La ecuación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.3 La excentricidad de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4.4 Asíntotas de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 La parábola 105

4.5.1 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5.2 Ecuación canónica de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5.3 Excentricidad de la parábola (y del resto de las cónicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

• II Parte 2

5 Ecuaciones lineales, matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1 Sistemas de ecuaciones lineales 113

5.1.1 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.3 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2 Matrices 121

5.2.1 ¿Qué es una matriz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2.2 ¿Cómo se relacionan las matrices con los sistemas lineales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.3 Triangulación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.2.4 ¿Cuáles son las operaciones que podemos hacer con las filas de una matriz? . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3 Resolución y clasificación de sistemas de ecuaciones lineales 129

5.3.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.2 Clasificando sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.3 Sistemas con parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4 La teoría de matrices 139

5.4.1 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.4.2 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.4.3 Matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.4.4 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4.5 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4.6 Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.5 Determinantes 154

5.5.1 ¿Qué es el determinante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5.2 El determinante de una matriz de 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.5.3 El determinante de una matriz de 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.5.4 El determinante de una matriz de n × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.5.5 Propiedades del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5.6 Utilizando el determinante para clasificar sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1 La transformación lineal 167

6.1.1 ¿Que caracteriza a una transformación lineal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.2 Forma funcional y matricial de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.1.3 Cómo construir transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2 Imagen y núcleo 174

6.2.1 Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.2.2 Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.3 Clasificación de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.3 Interpretación geométrica del efecto de una transformación lineal 179

6.3.1 La interpretación geométrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4 Composición e inversa de transformaciones lineales 188

6.4.1 ¿Qué significa componer funciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.2 Composición de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4.3 Construyendo transformaciones lineales compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.4.4 Inversa de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.1 ¿Qué son los números complejos? 195

7.1.1 ¿Cómo surgen los números complejos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.1.2 ¿Cómo se define el conjunto de números complejos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.2 El plano complejo 197

7.2.1 Representación en el plano y forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.2.2 Transformaciones en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3 Ecuaciones cuadráticas 204

7.3.1 Raíces cuadradas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.3.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.4 Formas polar y exponencial 206

7.4.1 El problema de la forma binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.4.2 La forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.4.3 La forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.5 Resolución de ecuaciones generales 211

7.5.1 Raíces n-ésimas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.5.2 Raíces n-ésimas de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.5.3 Resolución de ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.1 ¿Qué es un polinomio? 217

8.1.1 La visión algebraica de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.1.2 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.2 División de polinomios 220

8.2.1 ¿A qué se le llama dividir dos polinomios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.2.2 El algoritmo de división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.2.3 El Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.3 Raíces 224

8.3.1 ¿Qué son las raíces de un polinomio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.3.2 ¿Cómo encontrar raíces de un polinomio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.4 Factorización de polinomios 229

8.4.1 Polinomios irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9 Experimentos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251